當附加因素遇見了貝氏定理

附加因素(plus factors)是競爭法主管機關判斷卡特爾存在的重要間接證據，而貝氏定理(Bayes’ Theorem)則是18世紀英國數學家Thomas Bayes的發現。兩個原本不相干的東西，為何會冒出“愛”的火花？


前言

去年年底，市場上同時出現了三篇有關以間接證據判斷業者勾結行為存在的文章，不僅引起了美國學術界的討論，聯邦交易委員會更於本年8月為文探討(註) ：
‧William E. Kovacic, Robert C. Marshall, Leslie M. Marx, and Halbert L. White, Plus Factors and Agreement in Antitrust, 110 MICHIGAN LAW REVIEW 393 (2011);
‧Joseph E. Harrington, Posted Pricing as a Plus Factor, 7 JOURNAL OF COMPETITION LAW & ECONOMICS 1 (2011);
‧Louis Kaplow, Direct Versus Communications-Based Prohibitions on Price Fixing, 3 JOURNAL OF LEGAL ANALYSIS 449 (2011).

在六位作者當中，除了Kovacic(曾任美國聯邦交易委員會主任委員)外，其餘全都是經濟學家，且前兩篇更以“附加因素”構成文章的標題。然第二篇文章比較無法讓人親近，除非受過相當計量經濟訓練，而第一篇文章，或許是Kovacic是唯一的“非經濟人”，因此該文章的數量分析就顯得平易近人而又具有可操作性。

附加因素(固定市場份額、基點定價、地區性的價格差異、對非標準產品的相同出價…)現已是主管機關用來推論水平協議存在的重要依據，然其證據力要達到何種程度之下其推論方才具有合理性，一直存有爭議。美國聯邦最高法院在Matsushita Electric Industrial Co. v. Zenith Radio Corp. (1986)乙案中，就援引了Monsanto v. Spray-Rite Service Co. (1984)案所揭示間證據證據力的標準，須達「具排除該行為係出於行為人單方行為可能性的傾向」(a plaintiff…must present evidence ‘that tends to exclude the possibility’ that the alleged conspirators acted independently)的程度，亦即須顯示出「系爭行為係出於合意的機率」大於「系爭行為係出於單方行為的機率」，其推論共謀存在始具合理性。K氏等人似乎是意識到，既然是「機率」，那何不利用統計學的機率論來協助主管機關依間接證據對卡特爾案件進行判斷！因此，由英國數學家Thomas Bayes在玩弄條件機率時所發現的“貝氏定理”，就與附加因素蹦出了“愛”的火花。


附加因素與貝氏定理

K氏等人將競爭法主管機關對水平聯合行為之認定比喻為醫生看診。醫生在看診時都會詢問或觀察病人的症狀，當出現某一(或某些)症狀時，就代表病人罹患某種疾病的可能性就愈高；競爭法主管機關在判斷水平協議是否存在不也是一樣，附加因素就好比是症狀，當市場存在某一(或某些)附加因素時，主管機關就愈有把握證明卡特爾的存在。在此思維下，文章就以以下的條件機率出發：
P〔勾結∣證據〕= P〔C∣E〕
此表示在某一證據下發生卡特爾的機率。當P〔C∣E〕趨近於1時，代表以現有的證據幾乎可證明卡特爾的存在；若P〔C∣E〕趨近於0時，則以現有的證據幾乎可證明卡特爾不存在。今假設手上的證據是一項附加因素(F)，依貝氏定理，在此附加因素下卡特爾發生的機率為：

P[C/F]=(P[F/C]*P[C])/P[F/C]*P[C]+P[F/not C]*P[not C]

以上公式中的各項元素幾乎都可從經濟學知識或經驗中計算而得，其中等號右邊中有四個要素須待進一步說明。
第一個是P〔C〕。此代表在沒有任何證據下卡特爾發生的機率，機率的大小決定於產品差異性、產業特性和市場結構，例如同質性的產品或某些產業(台灣的液化石油氣即為一例)的P〔C〕就會很高，某些農產品可能就很低。為了解說方便，K氏等人文章假設P〔C〕=0.25。
第二個是P〔not C〕。這是卡特爾不存在的機率，事實上P〔not C〕= 1－P〔C〕，即P〔not C〕= 1－0.25=0.75。
第三個是P〔F∣C〕。代表在卡特爾發生的情形下，所觀察的附加因素發生的機率。假設所觀察的附加因素是涉案廠商改變內部銷售獎勵制度，而在大約15%的相關卡特爾案中可觀察得到，則P〔F∣C〕= 0.15。
第四個是P〔F∣not C〕。附加因素所提供的資訊並不是僅僅由P〔F∣C〕來決定，附加因素的價值是在藉此區別卡特爾行為與非卡特爾行為，這就得藉助P〔F∣not C〕，即在卡特爾不存在下，所觀察的附加因素發生的機率。若假設一個沒有參與卡特爾的理性廠商幾乎不可能改變內部銷售獎勵制度，則此代表P〔F∣not C〕會很小。若P〔F∣not C〕很小，則稱所觀察的附加因素為“超附加因素”(super plus factors)：在有卡特爾協議下會發生，但在沒有卡特爾協議時幾乎不可能出現的行為。令P〔F∣not C〕= 0.001，則：
P[C/F]=(0.15*0.25)/(0.15*0.25+0.001*0.75)=0.9804
因為所觀察的是超附加因素，所以我們可以認定只要此超附加因素發生，卡特爾存在的機率就非常的高(0.9804)，此時主管機關就更有把握進行裁決。

現在若觀察另一個不同的附加因素―穩定的市場份額(stable market share)，假設我們分別在三分之二的相關卡特爾市場、五分之一之非卡特爾市場中發現有此附加因素，則P〔F∣C〕= 0.667、P〔F∣not C〕= 0.2，依貝氏定理：
P[C/F]=(0.667*0.25)/(0.667*0.25+0.2*0.75)=0.5264
此代表穩定的市場份額附加因素存在下，卡特爾發生的可能性超過50%。

由上二例觀之，附加因素的強度受至於P〔F∣C〕與P〔F∣not C〕間的關係。令S代表附加因素的強度，則：
S=P[F/C]/P[F/ not C]
在第一個例子中S = 0.15/0.001=150，第二個例子S = 0.667/0.2=3.33，前者代表所觀察的附加因素發生在卡特爾市場是發生在非卡特爾市場的150倍，後者則為3.33倍。此可清楚分辨出附加因素對卡特爾存在的解釋強度。

如同疾病的症狀不會單一一樣，觀察附加因素往往是觀察多個因素，若是如此，則可將多個因素視為一個附加因素的集合，即若有k個附加因素F1、F2、…、Fk，則可令：
F = F1和F2 …和Fk
貝式定理的公式依舊適用，只是在S的處理上稍微複雜而已(有興趣者可參閱K氏等一文之註127)。

由上可知，附加因素的強度愈大，則認定卡特爾存在所需觀察的附加因素數目就愈少。是以，附加因素的強度與所要觀察的附加因素數目間呈反向關係。


後記

為提升主管機關對卡特爾行為認定的可信賴度，經濟學家在過去已引用了若干分析工具並獲致成功，例如美國司法部反托拉斯署在1987〜1989年調查冷凍去骨鱸魚(frozen perch fillets)案時，該署經濟學家就使用了不同時段的價格變化成功證明了業者勾結的存在；另有兩位經濟學家W. Christie和J. Schultz在1994年時檢視了1991年100家在NASDAQ市場交易活躍的大型公司股價，發現有70%的報價集中在八分之偶數(even-eighth quotes)，而且停留在奇數報價的時間(少於2分鐘)遠遠低於偶數報價，尤其這些報價均來自於60位不同的股票經紀人（market makers），唯一可能的解釋就是這些經紀人彼此間達成共同協議，盡量採取偶數報價來維持一定金額($0.25)以上的利差。當報章媒體大肆報導此一發現後，經紀商的利差大幅縮減($0.151~$0.175)，這並非代表經紀人成本增加，而是由於奇數報價的增加，這意謂著經紀商之間的共同協議已經瓦解，也更加證明經紀商彼此的確有聯合勾結。

聯邦交易委員會八月份文章一開始就提到：「過去的四十年，經濟理論已將結合管制由法律的問題轉變成為經濟學的問題，然固定價格的法律分析卻得不到經濟理論上創新的關心。」(Over the last 40 years, economic theory has transformed merger policy from a question of law to a question of economics, while the legal analysis of price fixing remained relatively aloof from the innovations in economic theory)，此次經濟學家“聯合”出手，水平協議的未來趨向是否亦會有相同的改變，這如同是在回答聯邦交易委員會文章的標題：Should Economic Theory Control Price Fixing Analysis?，歷史似乎正要開始重演！



註:Malcolm B. Coate (2012), Should Economic Theory Control Price Fixing Analysis？ Forthcoming paper.